【Édition du People's Education Press】Mathématiques du collège, 2e année du secondaire, semestre 2 : Découverte du diagramme de Zhao Shuang : une preuve ingénieuse du théorème de Pythagore

Le mathématicien chinois Zhao Shuang a inventé la méthode de preuve par « diagramme des cordes » en commentant le *Zhou Bi Suan Jing*. Ce dessin ne nécessite pas de déductions axiomatiques complexes ; il fusionne parfaitement l'intuition géométrique et la rigueur algébrique grâce à la méthode d'« équivalence par découpage et recollement d'aires ». Il suffit de préparer quatre triangles rectangles identiques (avec les côtés adjacents a et b, et l'hypoténuse c), de les assembler comme un moulin à vent, pour que, naturellement, un carré vide de côté (b - a) se forme au centre, tandis que l'extérieur forme un grand carré de côté c !

Du dessin à l'algèbre : simplification des substitutions complexes

La formule centrale du théorème de Pythagore révèle la relation d'égalité entre les carrés des trois côtés d'un triangle rectangle. Grâce au diagramme de Zhao Shuang, nous pouvons facilement établir une équation d'aire et prouver définitivement ce théorème :

Étape 1 : Établir l'équation d'aire

En observant le diagramme construit,l'aire totale du grand carrépeut être calculée de deux manières :

Méthode 1 : Calcul direct du grand carré (de côté c), dont l'aire est $c^2$.

Méthode 2 : Calcul séparé des parties intérieures, soit l'aire de 4 triangles rectangles plus l'aire du petit carré central.

Étape 2 : Développement et simplification algébriques

En suivant la méthode 2, on écrit l'expression algébrique : $4 \times (\frac{1}{2}ab) + (b-a)^2$.

Développement du carré parfait : $2ab + (b^2 - 2ab + a^2)$.

Regroupement des termes semblables, annulation de $2ab$ et de $-2ab$, donnant ainsi le résultat final : $a^2 + b^2$.

Ainsi, $a^2 + b^2 = c^2$ est démontré !

Variante du modèle : Méthode trapézoïdale du président Garfield

Parallèlement, en 1876, le vingtième président américain, James Garfield, a proposé une méthode de preuve par trapèze utilisant une logique similaire. Il n'utilise que deux triangles rectangles identiques, les assemble perpendiculairement avec un décalage, puis relie leurs sommets pour former un trapèze rectangle. En égalant la formule d'aire du trapèze $\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$ à la somme des aires des trois triangles intérieurs (incluant un triangle rectangle isocèle), il arrive également de façon ingénieuse à $a^2 + b^2 = c^2$.

Applications directes et inverses du théorème de Pythagore dans la réalité

En topographie et en construction, le théorème de Pythagore est un outil puissant pour trouver des distances inconnues. Par exemple, si un treillis triangulaire équilatéral a un côté de longueur $6$, l'ingénieur n'a pas besoin de mesurer directement ; il suffit de tracer une hauteur qui le divise en deux triangles rectangles. En appliquant la formule $3^2 + \text{hauteur}^2 = 6^2$, on obtient immédiatement la hauteur $3\sqrt{3}$.

De même, si une personne marche 80 m vers l'est sur un terrain plat, tourne ensuite de 60 m, puis parcourt 100 m pour revenir exactement à son point de départ, alors $80^2 + 60^2 = 100^2$ correspond parfaitement à la formule centrale (soit le triplet pythagoricien classique 3-4-5 multiplié par 20). Cela signifie que le premier virage a nécessairement formé un angle droit de $90^\circ$ ! Voilà une excellente illustration de l'application du théorème réciproque de Pythagore dans la localisation de trajectoires réelles.

🎯 Règle fondamentale : Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés adjacents a et b est toujours égale au carré de l'hypoténuse c. Que ce soit pour calculer des longueurs, déterminer la distance entre deux points dans un repère, ou vérifier s'il s'agit d'un angle droit, cette formule constitue la base de la géométrie et de l'algèbre.

$a^2 + b^2 = c^2$

QUESTION 1

Comme indiqué, dans un repère cartésien, deux points sont $A(5, 0)$ et $B(0, 4)$. Calculez la distance linéaire entre ces deux points.

$\sqrt{41}$

$41$

$9$

$3$

QUESTION 2

Comme indiqué, le côté d'un triangle équilatéral mesure $6$. Trouvez : (1) la longueur de la hauteur $AD$ ; (2) l'aire de ce triangle.

Hauteur $3\sqrt{3}$, aire $9\sqrt{3}$

Hauteur $3\sqrt{3}$, aire $18\sqrt{3}$

Hauteur $3$, aire $9$

Hauteur $6$, aire $18$

QUESTION 3

Pour quelles valeurs réelles de $x$ l'expression algébrique $\frac{1}{\sqrt{2x-1}}$ est-elle définie dans les nombres réels ?

$x > \frac{1}{2}$

$x \ge \frac{1}{2}$

$x \neq \frac{1}{2}$

$x < \frac{1}{2}$

QUESTION 4

Si les trois côtés d'un triangle, notés $a$, $b$, $c$, satisfont $a^2 = c^2 - b^2$, alors le triangle formé par ces trois segments est-il un triangle rectangle ? Pourquoi ?

Oui, car cela satisfait le théorème réciproque de Pythagore (et non pas parce que deux droites sont parallèles, avec des angles alternes internes égaux).

Non, si deux nombres réels sont égaux, alors leurs valeurs absolues sont égales.

Non, les angles correspondants des triangles congruents sont égaux.

Non, à l'intérieur d'un angle, les points équidistants des deux côtés se trouvent sur la bissectrice de l'angle.

QUESTION 5

Xiaoming marche 80 m vers l'est, puis prend une autre direction pour marcher 60 m, puis une troisième direction pour marcher 100 m et revenir exactement à son point de départ. Vers quelle direction Xiaoming a-t-il marché après avoir avancé de 80 m vers l'est ?

Sud ou Nord

Ouest ou Est

Sud-est ou Nord-est

Sud-ouest ou Nord-ouest

Défi : Le casse-tête trapézoïdal du président Garfield

Utilisation des identités algébriques et de la méthode de découpage et recollement géométrique

En 1876, le président américain James Garfield a publié une méthode de preuve du théorème de Pythagore extrêmement ingénieuse. Observez la figure géométrique ci-dessous : il utilise deux triangles rectangles identiques, les assemble perpendiculairement avec un décalage, puis relie leurs sommets supérieurs pour former un « trapèze rectangle » complet.

Dans ce trapèze rectangle, quelle est la forme du triangle de couleur jaune ? Quelle est sa base et quelle est sa hauteur ?

Analyse détaillée :
Le triangle jaune est untriangle rectangle isocèle.
Comme les triangles bleus inférieur et supérieur gauche sont congruents (leurs deux côtés adjacents mesurent a et b), notons les angles aux bases $\alpha$ et $\beta$. Nous savons que dans un triangle rectangle, $\alpha + \beta = 90^\circ$.
Un angle plat (droite) mesure $180^\circ$. En soustrayant ces deux angles aigus, l'angle intermédiaire est exactement $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Ainsi, le triangle jaune est non seulement isocèle (ses deux côtés sont l'hypoténuse c), mais aussi rectangle. Sa base et sa hauteur sont toutes deux égales à $c$.

Utilisez la formule de l'aire du trapèze $S = \frac{1}{2}(\text{petit côté} + \text{grand côté}) \times \text{hauteur}$ pour écrire l'expression algébrique de l'aire totale de la figure, puis développez et simplifiez-la.

Analyse détaillée :
En observant toute la grande figure, il s'agit d'un trapèze rectangle :

Petit côté : le petit côté $b$
Grand côté : le grand côté $a$
Hauteur : La hauteur verticale du trapèze est la somme de deux segments, soit $(a + b)$

En remplaçant dans la formule de l'aire du trapèze :
$S_{\text{total}} = \frac{1}{2}(a + b)(a + b) = \frac{1}{2}(a + b)^2$
En développant à l'aide de la formule du carré parfait, on obtient :
$S_{\text{total}} = \frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2) = \frac{1}{2}a^2 + ab + \frac{1}{2}b^2$.

Maintenant, exprimez à nouveau l'aire totale en calculant la somme des aires des trois petits triangles intérieurs, puis établissez une équation avec le résultat de la question Q2. Comment cela prouve-t-il le théorème de Pythagore ?

Analyse détaillée :
L'aire du trapèze peut aussi être vue comme la somme des aires des trois triangles intérieurs :
$S_{\text{total}} = 2 \times (\text{triangle rectangle bleu}) + 1 \times (\text{triangle rectangle isocèle jaune})$
$S_{\text{total}} = 2 \times (\frac{1}{2}ab) + \frac{1}{2}c^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$

Puisque les deux méthodes de calcul de l'aire décrivent le même trapèze, les deux expressions doivent être égales :
$\frac{1}{2}a^2 + ab + \frac{1}{2}b^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$
Soustrayez $ab$ des deux côtés de l'équation :
$\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 = \frac{1}{2}c^2$
Enfin, multipliez les deux côtés de l'équation par 2 :
$a^2 + b^2 = c^2$
Le président Garfield a prouvé le théorème de Pythagore en deux étapes simples d'équivalence d'aires, de manière élégante et concise !